関数 - 式・グラフ・変域の相互翻訳
関数：比例・反比例・一次関数・y = ax²
この試験では、比例・反比例、一次関数、関数 y = ax² が出題され、式とグラフの行き来、変域、変化の割合が中心になる。後半の総合問題では図形と絡めて問われるので、座標の扱いに慣れておきたい。
一次関数
- y = ax + b の a が傾き（変化の割合）、b が切片。
- 2点から式を求めるには、まず傾き = (yの増加量)/(xの増加量) を計算し、片方の点を代入してbを出す。
- 平行な直線は傾きが等しい。垂直に交わる2直線は傾きの積が -1。
- グラフから式を読むときは、格子点で通る2点を探す。
反比例
- y = a/x のグラフは双曲線で、x軸・y軸とは交わらない。
- 点(p, q)を通るなら比例定数は a = pq。xとyの積が一定であることを使う。
関数 y = ax²
- グラフは原点を頂点とする放物線で、y軸について対称。
- xがpからqまで増加するときの変化の割合は a(p + q)。検算に便利。
- 変域：xの変域に0を含むときは、yの最小値（a > 0なら）が0になる。両端の値だけでは決まらない。
例題
関数 y = (1/2)x² について、xが2から4まで増加するときの変化の割合を求める。 x = 2 のとき y = 2、x = 4 のとき y = 8。変化の割合 = (8 - 2)/(4 - 2) = 3。 別解として a(p + q) = (1/2)(2 + 4) = 3 でも一致する。曲線なので、この値は傾きではなく平均の変化の割合であることに注意。
失点しやすいところ
- 変化の割合と、直線の傾きを混同する。
- xの変域が0をまたぐのに、両端のyの値をそのまま最小・最大とする。
- 反比例で x × y が一定であることを使わず計算ミスをする。
- 座標の符号ミス。特に第2・第4象限。