図形 - 合同・相似・円・三平方の使い分け
図形：性質を「使える形」で覚える
この試験では平面図形の性質、合同と相似、円周角、三平方の定理、面積・体積が出題される。証明と求値がセットで問われるため、どの定理をどの場面で使うかを判断できるかが鍵になる。
合同と相似
- 合同条件：3辺相等、2辺とその間の角、1辺とその両端の角。
- 相似条件：3辺の比が等しい、2辺の比とその間の角、2組の角。
- 相似比 a : b なら面積比は a² : b²、体積比は a³ : b³。
- 対応する頂点の順番をそろえて書くと、比の取り違えを防げる。
円周角
- 同じ弧に対する円周角は等しい。中心角は円周角の2倍。
- 直径に対する円周角は90°。
- 円に内接する四角形では、対角の和が180°。
- 接線は、接点を通る半径と垂直。
三平方の定理
- 直角三角形で a² + b² = c²（cは斜辺）。
- 特別な比：30°-60°-90° は 1 : 2 : √3、直角二等辺三角形は 1 : 1 : √2。
- 座標平面上の2点間の距離も三平方で求める。
例題
AB = 6、BC = 8、∠B = 90° の直角三角形ABCで、Bから斜辺ACに垂線BHを下ろす。BHの長さを求める。
- 三平方の定理より AC = √(6² + 8²) = √100 = 10。
- △ABCの面積は 1/2 × 6 × 8 = 24。一方、ACを底辺とみると 1/2 × 10 × BH。
- 1/2 × 10 × BH = 24 より BH = 4.8。 1つの面積を2通りで表すのが定石。
失点しやすいところ
- 三平方の定理を直角三角形以外に使う。
- 相似の対応順を間違え、比を逆にする。
- 中心角と円周角を取り違える。
- 面積比を相似比のまま答える。