総合問題 - 関数と図形の融合
総合問題：座標と面積を道具にする
この試験の後半では、関数と図形の融合問題や、数量関係を読み取る応用問題が出る。配点が高く、差がつく。座標・交点・面積・変域の場合分けを、手を動かしながら処理する力が問われる。
座標と図形
- 2直線の交点は連立方程式で求める。放物線と直線なら、yを消去して二次方程式にする。
- 三角形の面積は「y軸（またはx軸）で2つに分けて足す」か「底辺×高さ÷2」。座標が分数になっても計算を続ける。
- 線分の長さは三平方：√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
- 面積を二等分する直線は、頂点と向かい合う辺の中点を通る。
動点とグラフ
- 点が動いて面積が変わる問題では、xの変域ごとに式を場合分けする。
- グラフの傾きは速さ、面積や移動距離はグラフの下の部分として読む。
- 与えられたグラフから数値を読み取り、条件に合う区間を特定する。
例題
放物線 y = (1/2)x² 上に A(-2, 2)、B(4, 8) がある。直線ABの式と △OAB の面積を求める。
- 傾き = (8 - 2)/(4 - (-2)) = 6/6 = 1。y = x + b にAを代入して 2 = -2 + b、b = 4。直線ABは y = x + 4。
- 直線ABとy軸の交点Cは (0, 4)。
- △OAB = △OCA + △OCB = 1/2 × 4 × 2 + 1/2 × 4 × 4 = 4 + 8 = 12。 y軸で分割すると高さがそろい、計算が安定する。
失点しやすいところ
- 交点のx座標を求めるとき、代入する式を間違える。
- 面積の分割を忘れ、大きい図形から引く処理が抜ける。
- 変域の場合分けをせず、1つの式で通そうとする。
- 単位や「およそ」の扱い、答えの吟味をしない。