三角形の花壇の面積と散水機の半径

学校の花壇を、3辺の長さが13m、14m、15mの三角形ABCの形に作り直すことになった。頂点A、B、Cは反時計回りに並び、AB=13m、BC=14m、CA=15mである。花壇の周りには低い柵を1周させる。園芸委員は、花壇の内部に円形の散水機を1台置き、その中心が3辺から等しい距離になるようにしたいと考えている。散水機の半径は4.5mのものを購入する予定だが、水が花壇の外まで届いてしまうのではないかと心配している。また、花壇の面積を求めるために、頂点Bから辺CAに垂線BHを下ろし、BHの長さを測る計画も立てている。ただし、花壇は平らで、柵や散水機の太さは考えないものとする。面積はヘロンの公式を使わず、垂線の長さを文字式で求めてから計算することになっている。先生は、Hが辺CA上にあることを確認し、直角三角形ABHとCBHで三平方の定理をそれぞれ使うよう助言した。さらに、散水機の中心から各辺までの距離と、購入予定の半径を比較して判断するよう求めた。計算では長さの単位をmとし、面積は小数第1位まで求めるものとする。