Shiga Public High School Entrance Examination - Mathematics cheat sheet

(a+b)²=a²+2ab+b²、(a−b)²=a²−2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b²、(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

因数分解は①共通因数→②公式→③たすき掛けの順に試す。a²−b²=(a+b)(a−b)は「2乗の差」を見たらすぐ使う。

ax²+bx+c=0の解はx=(−b±√(b²−4ac))/2a。b²−4ac>0で2解、=0で重解1つ、<0で実数解なし。

√(a²b)=a√b（a>0）。√72=6√2、√50=5√2、√18=3√2。分母の有理化は1/√a=√a/a。

不等式は両辺に負の数を掛ける・割るときだけ不等号の向きが逆になる。正の数を掛けても向きは変わらない。

連立方程式は係数をそろえた加減法か、一方を他方に代入する代入法で解く。解は2直線の交点の座標と一致する。

連続する整数はn, n+1、連続する偶数は2n, 2n+2、連続する奇数は2n−1, 2n+1と表せる。

(−3)²=9だが−3²=−9。累乗は符号より先に計算する。絶対値は原点からの距離で常に0以上。

√2≈1.414、√3≈1.732、√5≈2.236、√6≈2.449、√7≈2.646。大小比較や近似値の問題で使う。

三角形の内角の和は180°、外角は隣接しない2つの内角の和に等しい。n角形の内角の和は(n−2)×180°、外角の和は360°。

円周角の定理：同じ弧に対する円周角は等しい。中心角は円周角の2倍。直径に対する円周角は90°。

三平方の定理：直角三角形でa²+b²=c²（cは斜辺）。30°-60°-90°は1:2:√3、45°-45°-90°は1:1:√2。

相似比a:bなら面積比a²:b²、体積比a³:b³。相似の証明は「2組の角が等しい」が最頻出。

中点連結定理：三角形の2辺の中点を結ぶ線分は残りの辺に平行で、長さはその半分になる。

三角形の角の二等分線：∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとBD:DC=AB:ACが成り立つ。

合同条件は3辺相等、2辺とその間の角、1辺とその両端の角。直角三角形は斜辺と1鋭角、斜辺と他の1辺でもよい。

面積：三角形=底辺×高さ÷2、台形=(上底+下底)×高さ÷2、円=πr²、扇形=πr²×中心角/360。

円の接線は接点を通る半径に垂直。円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい。

一次関数y=ax+bの傾きはa、切片はb。変化の割合はxの値によらず常にaで一定。

y=ax²でxがpからqまで増えるときの変化の割合はa(p+q)。放物線では変化の割合は一定でない。

y=ax²はa>0で下に凸、a<0で上に凸。|a|が大きいほどグラフの開きは小さい。

y=ax²の変域：a>0でxの変域が0を含むとき最小値は0、最大値は|x|が大きい端のy座標。

2直線の平行条件は傾きが等しいこと（a=c）。垂直条件は傾きの積が−1（ac=−1）。

放物線と直線の交点は連立方程式を解いて求める。交点のx座標は二次方程式の解になっている。

反比例y=a/xはxy=aが一定。xが2倍になるとyは1/2。グラフは原点を通らない双曲線。

座標平面上の三角形の面積は、底辺をx軸上やy軸上にとると求めやすい。平行線を使うと等積変形で移動できる。

動点問題は点の位置で場合分けし、xの変域ごとに式を立てて、グラフが直線か放物線かを確認する。

代表値：平均値=合計÷個数、中央値=小さい順に並べたときの真ん中の値、最頻値=度数が最大の値。

範囲=最大値−最小値。四分位範囲=Q3−Q1。外れ値があるときは四分位範囲の方が散らばりを表しやすい。

相対度数=その階級の度数÷度数の合計。すべての相対度数の合計は1（百分率なら100%）。

階級値は各階級の中央の値。度数分布表から平均値を求めるときは（階級値×度数）の合計を度数で割る。

箱ひげ図：ひげの左端=最小値、箱の左端=Q1、箱の中の線=中央値、箱の右端=Q3、ひげの右端=最大値。

四分位数はデータを中央値で前半・後半に分け、それぞれの中央値をQ1、Q3とする。

標本調査：母集団から無作為に抽出した標本の比率から母集団の数量を推定する。全数調査が難しいときに行う。

累積度数は小さい階級から度数を順に加えたもの。累積相対度数が0.5を初めて超える階級に中央値がある。