Shiga Public High School Entrance Examination - Mathematics study guide

数と式：計算の正確さと式の利用

滋賀県公立高校入試の「数と式」は、正負の数の四則計算、文字式の表し方と計算、式の展開・因数分解、平方根、二次方程式を中心に出題される。小問集合では計算の正確さが直接得点差になり、後半の文章題では数量の関係を文字で表す力が試される。公式を暗記するだけでなく、「なぜその変形が成り立つか」を説明できる状態にしておきたい。 同類項は文字部分が同じ項どうしでのみまとめる。2x+3x=5x だが、2x+3 はそれ以上まとまらない。 分配法則 a(b+c)=ab+ac を、負の符号や分数でも正確に使う。 展開公式は (a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2。中央の項を落とさない。 因数分解は「共通因数→公式→たすき掛け」の順。x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。 平方根は √(a^2)= a 、√a√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)。√a+√b はまとめられない。 二次方程式は因数分解を先に試し、無理なら平方完成か解の公式。解の公式 x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。 式の値は、代入する前に文字式を整理すると計算量が減る。 (√5+√2)(√5-√2)-(√3-1)^2 を計算する。 第1項は (a+b)(a-b)=a^2-b^2 より (√5)^2-(√2)^2=5-2=3。 第2項は (√3)^2-2·√3·1+1^2=3-2√3+1=4-2√3。 よって 3-(4-2√3)=3-4+2√3=2√3-1。 ここでは「-（ ）」の分配で符号が反転すること、√3·1 の係数2を忘れないことがポイント。検算として 2√3-1≈2.46 を確認できる。 展開後の符号ミス。特に -(x-3) を -x-3 としない。 (a-b)^2 と a^2-b^2 の混同。 √2+√3=√5 という誤り。和は近似値で確認する。 二次方程式で両辺を x で割り、x=0 の解を失う。 文章題で「連続する整数」「1以上」などの条件を式に反映し忘れる。 平方根の有理化を忘れ、答えの形が不十分になる。.

図形：根拠を明示して長さと角を求める

「図形」では、平行線と角、三角形の合同・相似、円周角、三平方の定理、空間図形の体積・表面積が中心になる。滋賀県公立高校入試では、図形の性質を根拠にした証明問題が出題されやすい。図に印をつけながら、等しい角・等しい辺を整理してから計算に入る。 平行線の同位角・錯角は等しい。三角形の内角の和は180°、外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。 相似条件は「3組の辺の比」「2組の角」「2組の辺の比とその間の角」。相似比 a:b なら面積比は a^2:b^2、体積比は a^3:b^3。 三平方の定理は直角三角形で a^2+b^2=c^2。30°-60°-90°は 1:2:√3、45°-45°-90°は 1:1:√2。 円周角は同じ弧に対する中心角の半分。直径に対する円周角は90°。 空間図形は展開図で最短距離、切断面で断面を考える。体積と表面積の単位は別物。 証明は「△ABCと△DEFにおいて」「仮定より」「共通な角なので」「2組の角が等しいから相似」のように根拠を書く。 直角三角形ABCで∠C=90°、AC=6cm、BC=8cm とする。斜辺ABは三平方の定理より √(6^2+8^2)=10cm。頂点CからABに垂線CHを引くとき、CHの長さを求める。 △ABCの面積は 6×8÷2=24cm^2。ABを底辺とみると面積は 10×CH÷2=5CH。よって 5CH=24、CH=24/5=4.8cm。 同じ三角形を底辺の取り方を変えて見ることが要点で、面積を2通りに表す発想が問われる。 相似の対応順を間違え、辺の比を逆にする。 円周角と中心角、弧の長さと角度を混同する。 面積比をそのまま長さの比として使う。 表面積と体積の公式を取り違える。 証明で仮定と結論を区別せず、計算だけを並べる。. 相似比a:bは面積比a^2:b^2、体積比a^3:b^3.

関数：変化の割合とグラフの読み替え

「関数」では、一次関数 y=ax+b、反比例 y=a/x、二次関数 y=ax^2 のグラフと式、変化の割合、変域、交点、動点が問われる。滋賀県公立高校入試では、グラフと図形を組み合わせた総合問題も出やすい。式・表・グラフを相互に読み替える練習が有効。 一次関数の傾きaは変化の割合で、a=(yの増加量)/(xの増加量)。平行は傾きが等しく、垂直は傾きの積が-1。 反比例 y=a/x では xy=a が一定。グラフは原点を通らない双曲線。 二次関数 y=ax^2 でxがx1からx2まで変化するときの変化の割合は a(x1+x2)。 変域では、a 0ならx=0で最小、a<0ならx=0で最大。定義域に0が含まれるかを確認する。 交点は2つの式を連立して解く。交点のx座標を求めたらy座標も代入して組にする。 動点問題では、点が動く範囲からxの変域を決め、図形の面積をxで表す。 関数 y=ax^2 について、xの値が1から3まで増加するときの変化の割合が8である。aを求めよ。 変化の割合は (a·3^2-a·1^2)/(3-1)=(9a-a)/2=8a/2=4a。 4a=8 より a=2。 よくある誤りは、一次関数のように a·3-a·1=2a と計算すること。y=ax^2 ではyの値がxの2乗に比例するため、x^2の差を使う。 変化の割合とグラフの傾きを混同する。 変域でa<0のとき、最大値を端点としてしまい、x=0の頂点を外す。 交点のx座標だけを答えてy座標を忘れる。 動点でxの変域を書かない。 反比例の式を y=ax と混同する。. y=ax^2の変化の割合はa(x1+x2).

資料の活用：代表値・四分位数・確率