Shiga Public High School Entrance Examination - Mathematics flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

平方の展開公式

(a+b)²=a²+2ab+b²、(a−b)²=a²−2ab+b²。前の項と後の項をそれぞれ2乗し、積の2倍を符号に注意して加える。展開後は同類項をまとめて確認する。

和と差の積

(a+b)(a−b)=a²−b²。同じ2数を足したものと引いたものの積は2乗の差になる。因数分解では逆に、a²−b²を見たら(a+b)(a−b)と分解する。

二次方程式の解の公式

ax²+bx+c=0（a≠0）の解はx=(−b±√(b²−4ac))/2a。b²−4acを判別式といい、正なら2解、0なら1解、負なら実数解なしとなる。

分母の有理化

1/√aの分母と分子に√aを掛けて√a/aとする。1/(√a+√b)は(√a−√b)を掛けて計算する。分母に根号を残さない形に直す操作を有理化という。

不等式の性質

両辺に同じ数を足す・引く、同じ正の数を掛ける・割る場合は不等号の向きは変わらない。負の数を掛ける・割るときだけ向きが逆になる。

因数分解の手順

まず共通因数をくくり出す。次にa²+2ab+b²=(a+b)²、a²−b²=(a+b)(a−b)、x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)の公式を当てはめ、最後にたすき掛けでax²+bx+cを分解する。

連立方程式の加減法

2つの式を足すか引くかして一方の文字を消去する。係数の絶対値をそろえてから計算する。消去できないときは、一方の式を他方に代入する代入法を使う。

平方根の簡単化

a>0のとき√(a²b)=a√b。根号の中を素因数分解し、2乗になっている因数を外に出す。例：√72=√(36×2)=6√2、√50=√(25×2)=5√2。

円周角の定理

同じ弧に対する円周角はすべて等しい。1つの弧に対する中心角は円周角の2倍になる。直径に対する円周角は90°であり、角度を求める問題でよく使う。

三平方の定理

直角三角形では斜辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しい（a²+b²=c²）。逆も成り立ち、a²+b²=c²が成り立てばその三角形は直角三角形である。

相似比と面積比

相似な図形では相似比がa:bなら面積比はa²:b²、体積比はa³:b³になる。表面積は面積なのでa²:b²で考える。例えば相似比1:2なら面積比1:4、体積比1:8。

中点連結定理

三角形で2辺の中点を結ぶ線分は、残りの1辺に平行で、その長さは残りの辺の半分になる。台形では上底と下底の長さの平均になる。

角の二等分線の定理

三角形ABCで∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとすると、BD:DC=AB:ACが成り立つ。この比を使うと線分の長さを求められる。

多角形の内角の和

n角形の内角の和は(n−2)×180°。1つの頂点から引いた対角線で(n−2)個の三角形に分けて考える。一方、外角の和はnに関係なく360°である。

扇形の弧と面積

半径r、中心角a°の扇形では、弧の長さ=2πr×a/360、面積=πr²×a/360。弧の長さをlとすると面積=lr/2でも求められる。

円の接線の性質

接線は接点を通る半径に垂直である。円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しくなる。この性質は三平方の定理と組み合わせて使うことが多い。

変化の割合（一次関数）

xの増加量に対するyの増加量の比。一次関数y=ax+bでは常に一定で傾きaに等しい。xがpからqまで増えるときは（yの増加量）÷(q−p)で求める。

y=ax²の変化の割合

y=ax²でxがpからqまで増えるときの変化の割合はa(p+q)で求められる。放物線では場所によって変わるため、平均の変化の割合として計算する。

反比例の式

y=a/x（a≠0）で、xy=aは常に一定。xが2倍になるとyは1/2になる。グラフは原点を通らない双曲線で、a>0なら第1・3象限、a<0なら第2・4象限にある。

2直線の平行条件

y=ax+bとy=cx+dが平行になるのはa=cのとき。切片bとdが違っても平行である。2直線が重なるのはa=cかつb=dのときで、グラフでは傾きだけを比べる。

2直線の垂直条件

傾きがaとcの2直線が垂直になるのはac=−1のとき。例えば傾き2の直線に垂直な直線の傾きは−1/2になる。座標平面上で直角を作るときに使う。

放物線と直線の交点

y=ax²とy=mx+nの交点は、ax²=mx+nを解いてx座標を求め、その値を式に代入してy座標を出す。交点のx座標は二次方程式の解になっている。

y=ax²の変域

a>0でxの変域が負から正を含むとき、yの最小値は0、最大値は絶対値が大きい端のxのy座標。a<0では最大値が0、最小値は絶対値が大きい端のy座標になる。

等積変形

平行線の間では、底辺を共有し頂点が平行線上にある三角形の面積は等しい。面積を変えずに頂点を移動させ、求めやすい形に置き換えて面積を求める。

中央値（メジアン）

データを小さい順に並べたときの真ん中の値。個数が奇数なら中央の1つ、偶数なら中央の2つの平均をとる。極端に大きい値や小さい値の影響を受けにくい。

最頻値（モード）

度数が最も大きい値。度数分布表では度数が最大の階級の階級値、ヒストグラムでは最も高い柱の階級値を指す。同じ度数が複数あり、最頻値が2つ以上になることもある。

相対度数

その階級の度数を度数の合計で割った値。すべての相対度数の合計は必ず1になる。度数の異なる資料どうしを比べるときに使い、百分率で表すときは100を掛ける。

範囲（レンジ）

最大値から最小値を引いた値で、データの散らばりの大きさを表す。外れ値があると極端に大きくなるため、その場合は四分位範囲と使い分ける。

四分位範囲

第3四分位数から第1四分位数を引いた値。データの中央50%が含まれる幅を表し、外れ値の影響を受けにくい。第3四分位数は中央値より上の半分の中央値である。

箱ひげ図

箱の左端が第1四分位数、右端が第3四分位数、箱の中の線が中央値。ひげの両端が最小値と最大値を表す。箱の長さが四分位範囲で、データの散らばりを示す。

標本調査

母集団から無作為に抽出した標本を調べ、その結果から母集団の性質を推定する調査。全数調査が難しいときに使う。標本での比率から母集団の数量を比例で推定する。

階級値

度数分布の各階級の中央の値。例えば階級「10以上15未満」の階級値は12.5になる。度数分布表から平均値を求めるとき、各階級の代表値として使う。