Shiga Public High School Entrance Examination - Mathematics key terms

数直線上で、その数が表す点と原点0との間の距離を、その数の絶対値という。正の数と0ではその数自身、負の数では符号を変えた数が絶対値になる。絶対値が等しい2数は、符号が異なれば原点について対称な位置にある。

同じ数をいくつかかけ合わせたものを累乗といい、aをn個かけたときのnを指数、aを底という。負の数の累乗では、指数が偶数なら正、奇数なら負になる。かっこの位置によって意味が変わる点に注意する。

自然数を1より大きい整数の積の形に表したときのそれぞれの数を因数といい、因数がすべて素数である積の形に表すことを素因数分解という。素数で小さい順に割っていくと、どの自然数も一通りに分解できる。

2乗するとaになる数をaの平方根といい、正の平方根を√a、負の平方根を−√aと書く。正の数には平方根が2つあり、0の平方根は0だけ、負の数には実数の範囲で平方根はない。

分数の形で表せる数を有理数といい、整数や有限小数、循環小数はすべて有理数である。一方、√2やπのように分数で表せない数を無理数といい、小数で表すと循環しない無限小数になる。

(a+b)²、(a−b)²、(a+b)(a−b)、(x+a)(x+b)のように、よく使う展開の結果をまとめた等式を乗法公式という。展開するときにも、因数分解するときにも逆向きに使うので、形を正確に覚えておく。

多項式を、いくつかの多項式の積の形に変形することを因数分解という。まず共通因数をくくり出すことを考え、次に乗法公式を逆向きに使う。二次方程式を解く場面でも必要になる。

文字を1つ含み、その文字についての次数が1である方程式を一次方程式という。等式の性質を使って、文字を含む項を左辺、数だけの項を右辺に移項し、両辺を文字の係数でわることで解を求める。

2つの文字を含む一次方程式を2つ組み合わせたものを連立方程式といい、両方を同時に成り立たせる文字の値の組をその解という。加減法か代入法で1つの文字を消去して解く。

ax²+bx+c=0（a≠0）のように、文字の最高次数が2である方程式を二次方程式という。因数分解、平方完成、解の公式のいずれかで解き、解が2つの場合、1つの場合、ない場合がある。

ax²+bx+c=0の解は、x=(−b±√(b²−4ac))/2a で求められる。この式を解の公式といい、因数分解しにくい二次方程式でも機械的に解ける。bが偶数のときはb'=b/2を使う形にすると計算が速い。

不等号＜、＞、≦、≧を使って大小関係を表した式を不等式といい、それを成り立たせる文字の値の範囲を解という。等式と同じように移項できるが、両辺に負の数をかけたり負の数でわったりすると不等号の向きが逆になる。

連続する整数をn、n+1と置くなど、文字を使って数量関係を表し、成り立つ事柄を証明する問題形式。整数は2n、2n+1で偶数・奇数を表せる。式変形の最後に「〜の倍数になる」と言葉で結論を書く。

測定などで得られた、真の値に近い数を近似値といい、真の値との差を誤差という。近似値を上位の位から数えて信頼できる桁だけ書いたときの数字を有効数字といい、数の精度を表す。

2直線が交わってできる角のうち、向かい合う角を対頂角といい、常に等しい。2直線に1本の直線が交わるとき、同じ位置にある角を同位角、互い違いの位置にある角を錯角といい、平行なら両方とも等しくなる。

2直線に1本の直線が交わるとき、同位角が等しい、または錯角が等しければ、その2直線は平行である。逆に2直線が平行なら同位角も錯角も等しい。この条件は平行であることを示す証明で使う。

2つの三角形が合同であることを示す条件は3つある。3組の辺がそれぞれ等しい、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい、のいずれかである。

2つの三角形が相似になる条件は3つある。3組の辺の比がすべて等しい、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい、2組の角がそれぞれ等しい、である。角の相等を使う3番目が最もよく使われる。

相似な図形で、対応する長さの比を相似比という。面積の比は相似比の2乗、体積の比は相似比の3乗になる。たとえば相似比が1:2なら面積比は1:4、体積比は1:8である。

直角三角形で、直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺をcとすると、a²+b²=c²が成り立つ。これを三平方の定理といい、2辺から残りの1辺を求めるのに使う。逆にこの関係が成り立てば直角三角形である。

1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分であり、同じ弧に対する円周角はすべて等しい。また直径に対する円周角は直角になる。これらの性質をまとめて円周角の定理という。

円の2つの半径と弧で囲まれた図形をおうぎ形という。中心角が360°に対してどれだけの割合かを考え、弧の長さは2πr×中心角/360、面積はπr²×中心角/360で求める。

三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの1辺に平行で、その長さは残りの1辺の半分である。これを中点連結定理といい、辺の長さを求めたり、平行や相似を証明したりする場面で使う。

平行四辺形では、2組の対辺がそれぞれ平行で等しく、2組の対角がそれぞれ等しく、対角線はそれぞれの中点で交わる。逆にこれらのうち1つが成り立てば、その四角形は平行四辺形である。

柱体の体積は底面積×高さ、錐体の体積は底面積×高さ×1/3で求める。球の体積は4/3πr³、表面積は4πr²である。表面積は展開図を考え、側面と底面の面積をすべて足して求める。

平面図形を1本の直線を軸として1回転させてできる立体を回転体という。長方形を回転させると円柱、直角三角形なら円錐、半円なら球ができる。軸から最も遠い点までの距離が底面の半径になる。

y=ax（a≠0）の形で表され、xが2倍、3倍になるとyも2倍、3倍になる関係を比例といい、aを比例定数という。y=a/xの形で、xが2倍になるとyが1/2になる関係を反比例という。

y=ax+b（a≠0）の形で表される関数を一次関数といい、グラフは直線になる。aは傾きで、xが1増えるときのyの増加量を表し、bは切片で、グラフがy軸と交わる点のy座標である。

関数で、xの増加量に対するyの増加量の割合を変化の割合といい、yの増加量÷xの増加量で求める。一次関数では常に一定で傾きaに等しいが、y=ax²では区間によって値が変わる。

yがxの2乗に比例する関数で、グラフは原点を頂点とする放物線になる。a＞0なら上に開き、a＜0なら下に開く。aの絶対値が大きいほどグラフの開き方は狭くなる。

xやyのとりうる値の範囲を変域といい、a≦x≦bのように不等号で表す。y=ax²では、xの変域に0が含まれるかどうかでyの変域の求め方が変わるので注意する。

2つの関数のグラフが交わる点では、2つの式のxとyの値がともに等しい。交点の座標は、2つの式を連立方程式として解くことで求められる。放物線と直線の交点も同じ方法で求める。

資料をいくつかの階級に分け、それぞれに入る資料の個数（度数）をまとめた表を度数分布表という。階級の幅を横、度数を縦にとって柱を並べたグラフをヒストグラムといい、分布のようすが読み取れる。

ある階級の度数が、資料全体の個数に対してどれくらいの割合かを表した数を相対度数といい、その階級の度数÷度数の合計で求める。合計は必ず1になり、資料の個数が違う分布どうしを比べられる。

資料全体の特徴を1つの数で表したものを代表値といい、平均値、中央値（メジアン）、最頻値（モード）がある。極端に大きい値や小さい値があると、平均値はその影響を受けやすい。

最大値から最小値をひいた差を範囲（レンジ）という。資料を小さい順に並べて4等分する位置の値を四分位数といい、最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値を箱ひげ図に表すと分布を比較できる。

調査の対象全体を母集団といい、そこから取り出した一部を標本という。標本を調べて母集団の傾向を推定する調査を標本調査といい、全数調査が難しい場合に用いる。標本の取り出し方に偏りがないようにする。

ある事柄が起こることが期待される程度を表す数を確率といい、その事柄が起こる場合の数÷起こりうるすべての場合の数で求める。ただし、どの場合が起こることも同程度に期待できるときに限る。