Shiga Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies

数当てゲームの規則を文字式で説明する

授業で、二人組になり、次のような数当てを行うことになった。①一方が、十の位と一の位がともに0でない二桁の整数を書く。②もう一方が、その数の十の位と一の位を入れ替えた数を作る。③二つの数のうち大きい方から小さい方を引き、その差を9で割る。実際に、52と25では27÷9=3、71と17では54÷9=6、89と98では9÷9=1となった。生徒Aは「答えはいつも、もとの数の二つの位の数字の差になっている」と主張した。生徒Bは「89と98のとき、数字の差は1で、たまたまそうなっただけかもしれない」と疑い、生徒Cは「答えが4になる二桁の整数を、大きい方から小さい方を引く操作で全部知りたい」と言った。ただし、位を入れ替えた数が一桁にならないよう、どの位にも0は使わない。また、二つの数が同じになる場合は考えない。教師は、例を増やすだけでなく、十の位をa、一の位をbとして説明させ、さらにCの問いでは、aとbの関係から候補を落とさずに挙げるよう指示した。ノートには、計算の結果だけでなく、なぜ9でくくれるのか、文字式の変形を省略せずに書くこと。この活動は、式による説明と場合分けを同時に練習する小単元の導入である。. 十の位をa、一の位をbとして、操作の結果を文字式で表し、生徒Aの主張が常に成り立つか説明しなさい。また、生徒Bの「89と98はたまたま」という疑問に答えなさい。. もとの数を10a+b、入れ替えた数を10b+aとおく。a、bは1以上9以下である。大きい方から小さい方を引くので、差は (10a+b)-(10b+a) = 9(a-b) =9 a-b となる。これを9で割ると a-b である。よって答えは二つの位の数字の差（絶対値）になり、Aの主張は「差」を絶対値と解釈すれば常に成り立つ。89と98では 8-9 =1で、9×1=9を9で割った結果であり、偶然ではない。a=bのときは差が0で、答えも0になる。. 答えはa-b=4である。b=1、2、3、4、5に対してa=5、6、7、8、9となり、51、62、73、84、95の5つ。b=6以上ではa=10以上になるので不適。逆に十の位が一の位より小さい場合は15、26、37、48、59もあるが、条件から除く。. 条件よりa、bは1から9までなので、 a-b の最大は8である。したがって答えが9になることはない。もし0を位に使えるなら90と09で9になるが、本問では0を使わないと決めているので除外される。.

三角形の花壇の面積と散水機の半径

学校の花壇を、3辺の長さが13m、14m、15mの三角形ABCの形に作り直すことになった。頂点A、B、Cは反時計回りに並び、AB=13m、BC=14m、CA=15mである。花壇の周りには低い柵を1周させる。園芸委員は、花壇の内部に円形の散水機を1台置き、その中心が3辺から等しい距離になるようにしたいと考えている。散水機の半径は4.5mのものを購入する予定だが、水が花壇の外まで届いてしまうのではないかと心配している。また、花壇の面積を求めるために、頂点Bから辺CAに垂線BHを下ろし、BHの長さを測る計画も立てている。ただし、花壇は平らで、柵や散水機の太さは考えないものとする。面積はヘロンの公式を使わず、垂線の長さを文字式で求めてから計算することになっている。先生は、Hが辺CA上にあることを確認し、直角三角形ABHとCBHで三平方の定理をそれぞれ使うよう助言した。さらに、散水機の中心から各辺までの距離と、購入予定の半径を比較して判断するよう求めた。計算では長さの単位をmとし、面積は小数第1位まで求めるものとする。. BHの長さと三角形ABCの面積を求めなさい。. 散水機の中心を3辺から等距離にするとき、その距離を求め、半径4.5mの散水機で花壇の外に水が届くか判断しなさい。. CH=xとおくとAH=15-xである。△CBHと△ABHで三平方の定理より、 14^2-x^2=13^2-(15-x)^2 196-x^2=169-(225-30x+x^2) 196-x^2=-56+30x-x^2 よって196=-56+30x、30x=252、x=8.4。 BH^2=14^2-8.4^2=196-70.56=125.44なので、BH=11.2m。 面積は1/2×15×11.2=84m^2である。. 3辺から等距離な点は内接円の中心である。内接円の半径rは、面積S=84、半周s=(13+14+15)/2=21を用いてS=rsと表せる。r=84/21=4m。別にr=2S/(13+14+15)=168/42=4mとしてもよい。中心から各辺までの距離は4mで、散水機の半径4.5mは0.5mだけ辺の外側まで届く。花壇内だけに水を届けたいなら半径4m以下が必要で、4.5mのものは適さない。.

一次関数で考える二人のすれ違い

学校から駅までのまっすぐな道は1200mある。Aさんは8時ちょうどに学校を出発し、分速60mで駅に向かって歩いた。Bさんは8時5分に駅を出発し、同じ道を分速90mで学校に向かって歩いた。二人は途中ですれ違う予定である。Aさんは「すれ違う時刻をx分後として式を立てればよい」と考え、Bさんは「自分は5分遅れて出発するから、歩いた時間はx-5分だ」と確認した。また、二人の距離が300mになった時刻を、すれ違う前と後でそれぞれ求めたい。ただし、二人は一定の速さで歩き、途中で止まったり道をそれたりしないものとする。学校の位置を0m、駅の位置を1200mとし、Aさんの位置は出発からの時間x分を使って表す。先生は、距離の式をグラフにしたときの交点と、絶対値を含む方程式の両方で説明するよう求めた。xの変域は、Aさんが駅に着くまでとし、Bさんが学校に着いた後も二人の位置関係を考える。この単元では、一次関数の交点が連立方程式の解と一致することを確認している。教室では、速さの単位を分速にそろえ、xの値が整数でなくても時刻を分で答える練習をした。また、すれ違う前はAの位置がBより小さく、すれ違った後は大きくなることを確認する。. Aさん、Bさんの位置を、8時からx分後の関数として表し、変域も書きなさい。. 二人の距離が300mになる時刻を、すれ違う前と後でそれぞれ求めなさい。. 学校を0m、駅を1200mとする。Aさんはy=60x（0≤x≤20）。Bさんは8時5分まで駅にいるので、0≤x≤5ではy=1200。5≤xでは駅から学校向きに90m/分なので、y=1200-90(x-5)=1650-90x。Bさんが学校に着くのは1200/90=13分20秒後で、x=5+40/3=55/3。よって5≤x≤55/3ではy=1650-90x、55/3≤x≤20ではy=0。. すれ違うのは5≤x≤55/3の範囲で、60x=1650-90x。150x=1650よりx=11。8時11分である。距離は60×11=660m。Bさんでも1200-90×(11-5)=1200-540=660mとなり一致する。. 二人の距離は 60x-(1650-90x) = 150x-1650 。これが300だから 150x-1650 =300。150x-1650=300ならx=13、150x-1650=-300ならx=9。どちらも5≤x≤55/3に入る。よって8時9分（すれ違う前）と8時13分（すれ違う後）。確認すると、x=9ではA=540m、B=840mで300m。x=13ではA=780m、B=480mで300mである。.

通学時間の代表値と転校生の影響

直角三角形に内接する正方形の辺の長さ

直角三角形ABCがあり、∠C=90°、AC=9cm、BC=12cm、AB=15cmである。この三角形の内側に、頂点Cを1つの頂点とし、辺CA上と辺CB上にそれぞれ辺をもつ正方形CDEFを置く。DはCA上、EはCB上、Fは三角形の内部または辺AB上にある。正方形の1辺の長さをxcmとし、Fが辺AB上にくるように大きさを決めたい。生徒は、正方形の面積が三角形の面積のどれくらいの割合になるかを調べ、さらに辺AB上に別の正方形を置いた場合と比較しようとしたが、まずはCDEFの1辺を求めることにした。点Cを原点とし、CAをx軸、CBをy軸とする座標を考えると、ABの式が使える。ただし、正方形の辺は軸に平行で、Fは第1象限にあるものとする。先生は、相似比で解く方法と座標で解く方法の両方をノートに書き、同じ値になることを確かめるよう指示した。また、正方形の面積と三角形の面積の比を、約分した分数で答えることも求めた。CDEFの頂点はC→D→F→Eの順に並び、FがAB上にある条件を図形の相似と座標の両方で確認する。. 正方形CDEFの1辺の長さxを求めなさい。. 相似比を用いてxを求める説明を書きなさい。. 正方形CDEFの面積は三角形ABCの面積の何倍か、約分した分数で答えなさい。. Cを原点、CAをx軸、CBをy軸にとるとA(9,0)、B(0,12)。ABの式はx/9+y/12=1。Fは(x,x)なので、x/9+x/12=1。両辺を36倍して4x+3x=36、7x=36、x=36/7cm。. DはCA上でCD=x、DA=9-x。DFはCBに平行なので、△ADFと△ACBは相似である。AD:AC=DF:CBより(9-x):9=x:12。12(9-x)=9x、108-12x=9x、21x=108、x=36/7。座標で求めた値と一致する。.