直角三角形に内接する正方形の辺の長さ

直角三角形ABCがあり、∠C=90°、AC=9cm、BC=12cm、AB=15cmである。この三角形の内側に、頂点Cを1つの頂点とし、辺CA上と辺CB上にそれぞれ辺をもつ正方形CDEFを置く。DはCA上、EはCB上、Fは三角形の内部または辺AB上にある。正方形の1辺の長さをxcmとし、Fが辺AB上にくるように大きさを決めたい。生徒は、正方形の面積が三角形の面積のどれくらいの割合になるかを調べ、さらに辺AB上に別の正方形を置いた場合と比較しようとしたが、まずはCDEFの1辺を求めることにした。点Cを原点とし、CAをx軸、CBをy軸とする座標を考えると、ABの式が使える。ただし、正方形の辺は軸に平行で、Fは第1象限にあるものとする。先生は、相似比で解く方法と座標で解く方法の両方をノートに書き、同じ値になることを確かめるよう指示した。また、正方形の面積と三角形の面積の比を、約分した分数で答えることも求めた。CDEFの頂点はC→D→F→Eの順に並び、FがAB上にある条件を図形の相似と座標の両方で確認する。