数と式：計算の正確さと式の利用
滋賀県公立高校入試の「数と式」は、正負の数の四則計算、文字式の表し方と計算、式の展開・因数分解、平方根、二次方程式を中心に出題される。小問集合では計算の正確さが直接得点差になり、後半の文章題では数量の関係を文字で表す力が試される。公式を暗記するだけでなく、「なぜその変形が成り立つか」を説明できる状態にしておきたい。
計算の土台
- 同類項は文字部分が同じ項どうしでのみまとめる。2x+3x=5x だが、2x+3 はそれ以上まとまらない。
- 分配法則 a(b+c)=ab+ac を、負の符号や分数でも正確に使う。
- 展開公式は (a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2。中央の項を落とさない。
- 因数分解は「共通因数→公式→たすき掛け」の順。x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。
- 平方根は √(a^2)=|a|、√a√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)。√a+√b はまとめられない。
- 二次方程式は因数分解を先に試し、無理なら平方完成か解の公式。解の公式 x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
- 式の値は、代入する前に文字式を整理すると計算量が減る。
例題で確認
(√5+√2)(√5-√2)-(√3-1)^2 を計算する。 第1項は (a+b)(a-b)=a^2-b^2 より (√5)^2-(√2)^2=5-2=3。 第2項は (√3)^2-2·√3·1+1^2=3-2√3+1=4-2√3。 よって 3-(4-2√3)=3-4+2√3=2√3-1。 ここでは「-（ ）」の分配で符号が反転すること、√3·1 の係数2を忘れないことがポイント。検算として 2√3-1≈2.46 を確認できる。
失点を防ぐ
- 展開後の符号ミス。特に -(x-3) を -x-3 としない。
- (a-b)^2 と a^2-b^2 の混同。
- √2+√3=√5 という誤り。和は近似値で確認する。
- 二次方程式で両辺を x で割り、x=0 の解を失う。
- 文章題で「連続する整数」「1以上」などの条件を式に反映し忘れる。
- 平方根の有理化を忘れ、答えの形が不十分になる。