図形：根拠を明示して長さと角を求める
「図形」では、平行線と角、三角形の合同・相似、円周角、三平方の定理、空間図形の体積・表面積が中心になる。滋賀県公立高校入試では、図形の性質を根拠にした証明問題が出題されやすい。図に印をつけながら、等しい角・等しい辺を整理してから計算に入る。
使う道具
- 平行線の同位角・錯角は等しい。三角形の内角の和は180°、外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。
- 相似条件は「3組の辺の比」「2組の角」「2組の辺の比とその間の角」。相似比 a:b なら面積比は a^2:b^2、体積比は a^3:b^3。
- 三平方の定理は直角三角形で a^2+b^2=c^2。30°-60°-90°は 1:2:√3、45°-45°-90°は 1:1:√2。
- 円周角は同じ弧に対する中心角の半分。直径に対する円周角は90°。
- 空間図形は展開図で最短距離、切断面で断面を考える。体積と表面積の単位は別物。
- 証明は「△ABCと△DEFにおいて」「仮定より」「共通な角なので」「2組の角が等しいから相似」のように根拠を書く。
例題
直角三角形ABCで∠C=90°、AC=6cm、BC=8cm とする。斜辺ABは三平方の定理より √(6^2+8^2)=10cm。頂点CからABに垂線CHを引くとき、CHの長さを求める。 △ABCの面積は 6×8÷2=24cm^2。ABを底辺とみると面積は 10×CH÷2=5CH。よって 5CH=24、CH=24/5=4.8cm。 同じ三角形を底辺の取り方を変えて見ることが要点で、面積を2通りに表す発想が問われる。
失点しやすいところ
- 相似の対応順を間違え、辺の比を逆にする。
- 円周角と中心角、弧の長さと角度を混同する。
- 面積比をそのまま長さの比として使う。
- 表面積と体積の公式を取り違える。
- 証明で仮定と結論を区別せず、計算だけを並べる。