関数：変化の割合とグラフの読み替え
「関数」では、一次関数 y=ax+b、反比例 y=a/x、二次関数 y=ax^2 のグラフと式、変化の割合、変域、交点、動点が問われる。滋賀県公立高校入試では、グラフと図形を組み合わせた総合問題も出やすい。式・表・グラフを相互に読み替える練習が有効。
基本の整理
- 一次関数の傾きaは変化の割合で、a=(yの増加量)/(xの増加量)。平行は傾きが等しく、垂直は傾きの積が-1。
- 反比例 y=a/x では xy=a が一定。グラフは原点を通らない双曲線。
- 二次関数 y=ax^2 でxがx1からx2まで変化するときの変化の割合は a(x1+x2)。
- 変域では、a>0ならx=0で最小、a<0ならx=0で最大。定義域に0が含まれるかを確認する。
- 交点は2つの式を連立して解く。交点のx座標を求めたらy座標も代入して組にする。
- 動点問題では、点が動く範囲からxの変域を決め、図形の面積をxで表す。
例題
関数 y=ax^2 について、xの値が1から3まで増加するときの変化の割合が8である。aを求めよ。 変化の割合は (a·3^2-a·1^2)/(3-1)=(9a-a)/2=8a/2=4a。 4a=8 より a=2。 よくある誤りは、一次関数のように a·3-a·1=2a と計算すること。y=ax^2 ではyの値がxの2乗に比例するため、x^2の差を使う。
失点しやすいところ
- 変化の割合とグラフの傾きを混同する。
- 変域でa<0のとき、最大値を端点としてしまい、x=0の頂点を外す。
- 交点のx座標だけを答えてy座標を忘れる。
- 動点でxの変域を書かない。
- 反比例の式を y=ax と混同する。